【复数四则运算公式】在数学中，复数是实数与虚数的结合体，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算是处理复数问题的基础。以下是对复数四则运算公式的总结。
一、复数四则运算公式总结
| 运算类型 | 公式表达 | 说明 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | 实部与实部相加，虚部与虚部相加 |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | 实部与实部相减，虚部与虚部相减 |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | 使用分配律展开，注意 $ i^2 = -1 $ |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $ | 分母有理化，乘以共轭复数 |
二、运算步骤解析
1. 加法与减法
加法和减法相对简单，只需将两个复数的实部和虚部分别相加或相减即可。
例如：
- $ (3 + 4i) + (2 + 5i) = (3+2) + (4+5)i = 5 + 9i $
- $ (7 - 3i) - (4 + 2i) = (7-4) + (-3-2)i = 3 - 5i $
2. 乘法
乘法需要使用分配律展开，同时注意 $ i^2 = -1 $。
例如：
- $ (2 + 3i)(1 + 4i) = 2×1 + 2×4i + 3i×1 + 3i×4i = 2 + 8i + 3i + 12i^2 = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i $
3. 除法
除法需要将分母有理化，即乘以分母的共轭复数（将 $ i $ 的符号改变），然后进行计算。
例如：
- $ \frac{1 + 2i}{3 + 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{3 - 4i + 6i - 8i^2}{9 + 16} = \frac{3 + 2i + 8}{25} = \frac{11 + 2i}{25} $
三、注意事项
- 复数的运算结果仍然是一个复数。
- 在进行除法时，务必对分母进行有理化处理，避免出现虚数单位在分母中的情况。
- 乘法中需要注意 $ i^2 = -1 $ 的替换，这是计算中容易出错的地方。
通过掌握复数的四则运算公式，可以更方便地解决涉及复数的问题，尤其在工程、物理和信号处理等领域具有广泛应用。