【常用积分公式】在数学学习和应用中，积分是一个非常重要的工具，尤其在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。掌握一些常用的积分公式，可以大大提高解题效率和理解深度。以下是一些常见的不定积分和定积分公式，以加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式（不定积分）
| 函数 | 积分结果 | ||
| $ \int x^n \, dx $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ （$ n \neq -1 $） | ||
| $ \int \frac{1}{x} \, dx $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \int e^x \, dx $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \int a^x \, dx $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \int \sin x \, dx $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \int \cos x \, dx $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \int \sec^2 x \, dx $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \int \csc^2 x \, dx $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \int \sec x \tan x \, dx $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \int \csc x \cot x \, dx $ | $ -\csc x + C $ |
二、常见函数的积分公式
| 函数 | 积分结果 | ||
| $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | ||
| $ \int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
| $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx $ | $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
三、特殊函数积分
| 函数 | 积分结果 | ||
| $ \int \ln x \, dx $ | $ x \ln x - x + C $ | ||
| $ \int \log_a x \, dx $ | $ \frac{x \ln x - x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x \ln x} \, dx $ | $ \ln | \ln x | + C $ |
| $ \int \frac{1}{x (\ln x)^n} \, dx $ | $ \frac{(\ln x)^{1 - n}}{1 - n} + C $（$ n \neq 1 $） |
四、三角函数积分
| 函数 | 积分结果 |
| $ \int \sin^n x \, dx $ | 需要根据奇偶性使用降幂公式或递推法 |
| $ \int \cos^n x \, dx $ | 同上，需结合三角恒等式处理 |
| $ \int \tan^n x \, dx $ | 可用递推公式或拆项法 |
| $ \int \cot^n x \, dx $ | 同上，需结合恒等式处理 |
五、定积分公式（部分）
| 积分形式 | 结果 |
| $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx $ | 若 $ n $ 为偶数：$ \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} $；若 $ n $ 为奇数：$ \frac{(n-1)!!}{n!!} $ |
| $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx $ | 与上述相同 |
| $ \int_0^{\infty} e^{-ax} \, dx $ | $ \frac{1}{a} $（$ a > 0 $） |
| $ \int_0^{\infty} x^n e^{-ax} \, dx $ | $ \frac{n!}{a^{n+1}} $（$ a > 0 $） |
总结
以上是数学中一些常见的积分公式，涵盖了多项式、指数函数、三角函数、对数函数以及一些特殊函数的积分方法。在实际应用中，灵活运用这些公式并结合换元法、分部积分法等技巧，可以解决大部分积分问题。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和记忆。