【伴随矩阵公式是什么】在线性代数中，伴随矩阵（Adjoint Matrix）是一个与原矩阵密切相关的矩阵，常用于求解逆矩阵、行列式等计算。伴随矩阵的定义和公式是矩阵理论中的重要内容，尤其在求解可逆矩阵时具有重要应用。
一、伴随矩阵的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其伴随矩阵记为 $ \text{adj}(A) $，是由 $ A $ 的每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置。
具体来说，伴随矩阵的第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素是原矩阵 $ A $ 中第 $ j $ 行第 $ i $ 列元素的代数余子式，即：
$$
\text{adj}(A) = (C_{ji})^T
$$
其中，$ C_{ji} $ 是 $ a_{ji} $ 的代数余子式，定义为：
$$
C_{ji} = (-1)^{j+i} M_{ji}
$$
其中，$ M_{ji} $ 是去掉第 $ j $ 行和第 $ i $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 子矩阵的行列式。
二、伴随矩阵的公式总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 伴随矩阵是原矩阵所有元素的代数余子式的转置矩阵 |
| 公式 | $ \text{adj}(A) = (C_{ji})^T $，其中 $ C_{ji} = (-1)^{i+j} M_{ji} $ |
| 用途 | 求解逆矩阵：$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $（当 $ \det(A) \neq 0 $ 时） |
| 特点 | 若 $ A $ 可逆，则 $ A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I $ |
三、举例说明
以一个 2×2 矩阵为例：
$$
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
$$
则其伴随矩阵为：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}
$$
验证：
$$
A \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
ad - bc & 0 \\
0 & ad - bc
\end{bmatrix} = \det(A) \cdot I
$$
四、注意事项
- 伴随矩阵只对方阵有意义；
- 当矩阵不可逆时（即行列式为零），伴随矩阵仍然存在，但不能用来求逆；
- 伴随矩阵与原矩阵的秩有关系，若原矩阵满秩，则伴随矩阵也满秩。
通过以上内容可以看出，伴随矩阵不仅是矩阵运算中的重要工具，也是理解矩阵性质的关键概念之一。掌握伴随矩阵的公式和应用，有助于更深入地理解线性代数的核心思想。