【z变换定义公式】在数字信号处理中，z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间系统。它能够将时域中的离散信号转换为复频域中的表达形式，便于系统分析与设计。本文将对z变换的定义公式进行总结，并以表格形式展示其关键内容。
一、z变换的基本定义
z变换是针对离散时间信号的一种积分变换，类似于连续时间信号中的拉普拉斯变换。对于一个离散时间序列 $ x[n] $，其z变换定义如下：
$$
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}
$$
其中：
- $ x[n] $ 是输入的离散时间信号；
- $ z $ 是复数变量；
- $ X(z) $ 是信号 $ x[n] $ 的z变换结果；
- $ n $ 是离散时间索引。
该式称为双边z变换（Two-sided Z-transform）。
对于因果信号（即 $ n < 0 $ 时 $ x[n] = 0 $），通常使用单边z变换（One-sided Z-transform）：
$$
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}
$$
二、z变换的关键特点
| 特点 | 内容 | ||
| 定义域 | 复平面上的区域，称为收敛域（ROC） | ||
| 变换目的 | 将时域信号转换为复频域表达式，便于系统分析 | ||
| 适用对象 | 离散时间信号和系统 | ||
| 与拉普拉斯变换的关系 | 类似于拉普拉斯变换，但适用于离散系统 | ||
| 收敛条件 | 必须满足级数 $ \sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] \cdot z^{-n} | < \infty $ |
三、常见信号的z变换表
| 信号 $ x[n] $ | z变换 $ X(z) $ | 收敛域（ROC） | ||||
| $ \delta[n] $ | $ 1 $ | 全平面 | ||||
| $ u[n] $ | $ \frac{z}{z - 1} $ | $ | z | > 1 $ | ||
| $ a^n u[n] $ | $ \frac{z}{z - a} $ | $ | z | > | a | $ |
| $ n a^n u[n] $ | $ \frac{az}{(z - a)^2} $ | $ | z | > | a | $ |
| $ \cos(\omega_0 n)u[n] $ | $ \frac{z(z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1} $ | $ | z | > 1 $ |
四、小结
z变换是分析离散时间系统的重要工具，通过将时域信号映射到复频域，可以方便地研究系统的稳定性、频率响应等特性。掌握z变换的定义及其常见信号的变换形式，有助于深入理解数字信号处理的核心思想。
通过上述表格和总结，我们可以清晰地看到z变换的基本概念、应用场景及常用信号的变换形式，为后续学习打下坚实基础。