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黎曼函数(黎曼函数)

2022-09-16 01:53:32

问题描述:

黎曼函数(黎曼函数),有没有大佬愿意指导一下?求帮忙!

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2022-09-16 01:53:32

您好,今天帅帅来为大家解答以上的问题。黎曼函数,黎曼函数相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、简介黎曼函数是一个特殊函数,由德国数学家黎曼发现提出,在高等数学中被广泛应用,在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。

2、   此函数在微积分中有着重要应用。

3、 定义R(x)=0,如果x=0,1或(0,1)内的无理数;   R(x)=1/q,如果x=p/q(p/q为既约真分数),即x为(0,1)内的有理数。

4、 性质定理:黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。

5、   证明:对任意x0∈(0,1),任给正数ε,考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点,因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式(q∈N+),且对每个q,函数值等于1/q的点都是有限的,所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。

6、设这些点,连同0、1,与x0的最小距离为δ,则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中,从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。

7、   推论:黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续,有理点处处不连续。

8、   推论:黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。

9、(实际上,黎曼函数在[0,1]上的积分为0。

10、)   证明:函数可积性的勒贝格判据指出,一个有界函数是黎曼可积的,当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。

11、黎曼函数的不连续点集合即为有理数集,是可数的,故其测度为0,所以由勒贝格判据,它是黎曼可积的。

12、变体 R(x)=0,如果x为任意无理数;   R(x)=1/q,如果x=p/q(p∈Z,q∈Z+,(p,q)=1),即x为任意非零有理数;   R(x)=1,如果x=0。

13、   这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续,有理点处处不连续。

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