您好,今天帅帅来为大家解答以上的问题。黎曼函数，黎曼函数相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、简介黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。

2、 　　此函数在微积分中有着重要应用。

3、 定义R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数； 　　R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0,1)内的有理数。

4、 性质定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。

5、 　　证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。

6、设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。

7、 　　推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。

8、 　　推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。

9、（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。

10、） 　　证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。

11、黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。

12、变体 R(x)=0，如果x为任意无理数； 　　R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x为任意非零有理数； 　　R(x)=1，如果x=0。

13、 　　这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。

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